By H. Kurzweil
ISBN-10: 3540084541
ISBN-13: 9783540084549
ISBN-10: 3642953131
ISBN-13: 9783642953132
Das vorliegende Buch mochte den Leser mit den Grundlagen und Methoden der Theorie der endlichen Gruppen vertraut machen und ihn bis an ak tuelle Ergebnisse heranfuhren. Es entstand aus einer 1-semestrigen Vorlesung, setzt nur elementare Kenntnisse der linearen Algebra voraus und entwickelt die wichtigsten Resultate auf moglichst direktem Weg. Die Theorie der p-Gruppen behandeln wir z. B. nur so weit, wie es fur das Studium von p-Untergruppen beliebiger Gruppen unbedingt erforder lich ist ahnlich verfahren wir mit den nilpotenten Gruppen. Die auf losbaren Gruppen stellen wir zusammen mit den rr-auflosbaren Gruppen vor und betonen auch hier solche Aspekte, welche fur die Behandlung auflosbarer Untergruppen nicht auflosbarer Gruppen wertvoll sind. Das zentrale und bis jetzt ungeloste challenge in der Theorie endlicher Gruppen ist die Bestimmung aller einfachen Gruppen. In den letzten 20 Jahren wurden dazu eine Vielfalt tiefer Satze bewiesen, so daB eine Losung des difficulties heute nicht mehr unmoglich erscheint. Da die Be weise oft sehr lang und kompliziert sind, entziehen sie sich weitge hend einer Darstellung in einem Lehrbuch und erst recht in diesem ein fuhrenden textual content. Es haben sich jedoch eine Reihe elementarer SchluB weisen und Begriffe herausgebildet, deren Kenntnis eine Grundvoraus setzung fur die Beschaftigung mit diesem Gebiet ist. Solche darzu stellen, sowie auf typische Fragestellungen anzuwenden, ist ein Haupt anliegen unseres Buches. Dabei orientieren wir uns vor allem an dem Begriff des "Operierens" in seinen verschiedenen Formen. In Kap.
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Example text
Der Normalteiler N von G operiere transitiv auf n und es sei Na =I fur alle a E n (N operiert reguliir auf n). Dann gilt a) (a xI y x2 ) = a * x y = x I 2 b) Operiert G 2-transitiv auf n, so ist o(x) =p (Primzahl) fur alle x E N, x c) Operiert G primitiv auf n'fa}, so ist o(x) < 2 fur alle x INI § = 3. a - Operiert im zweiten Fall G treu auf n, so ist IGI * I. E N, oder es ist = 6. 5 DIE SYMMETRISCHE GRUPPE Dieser Abschnitt ist fUr das Verstandnis der folgenden Kapitel nicht notig. Neben Kap.
Eine Untermenge B von G normaZisiert A, falls B NG(A). 1 b) operiert die Untergruppe H vermoge y ~ yX Elementen von G (dies ist ein Spezialfall von vorher). Die Elemente yX, x E H, heiBen die zu y unter H konjugierten Elemente. 2 ist eine Untergruppe von Hi sie heiBt der ZentraZisator von y in H und besteht offenbar genau aus den Elementen x von H, die mit y vertauschbar sind, fur die also xy = yx gilt. 4 ist IH:CH(y) I gleich der Anzahl der zu y unter H konjugierten Elemente. lm FaIle H = G heiBt yX ein zu y konjugiertes Element.
21 Operiert die Gruppe G transitiv auf der Menge O. so sind foZgende drei Aussagen aquivaZent: 1) G operiert 2-transitiv aUf o. 2) FUr a E 0 operiert Ga transitiv aUf 0\ {a}. 3) Sei U := Ga (a E 0). FUr jedes 9 E G'\U giZt G U U UgU. BEWEIS: Die Xquivalenz von 1) und 2) folgt unmittelbar aus der Definition von "2-transitiv". 2) * 3): Sei U := Ga. Dann operiert U genau dann transitiv auf o"{a}, wenn U transitiv auf den Rechtsnebenklassen U von U durch Rechtsmultiplikation operiert. Das letztere ist offenbar aquivalent zu G = U U UgU.
Endliche Gruppen: Eine Einführung in die Theorie der endlichen Gruppen by H. Kurzweil
by William
4.5