By Rainer Schulze-Pillot-Ziemen
ISBN-10: 3540453792
ISBN-13: 9783540453796
Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verkn?pft und f?r die Verwendung in Bachelorstudieng?ngen und modularisierten Lehramtsstudieng?ngen konzipiert ist. Es f?hrt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der f?r Nichtspezialisten das n?tige Handwerkszeug f?r die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Besch?ftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und f?r diese eine gute Ausgangsbasis bildet.
F?r die zweite Auflage wurden Korrekturen vorgenommen, ferner wurden ein erg?nzendes Kapitel ?ber Galoistheorie und ein erg?nzender Abschnitt ?ber Anwendungen der Theorie endlicher K?rper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.
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Zeigen Sie in Ihren Beispielen, dass dennoch jeweils der gr¨ oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der die Ideale erzeugenden Elemente existiert. 8. Bestimmen Sie in Q[X] den normierten Erzeuger g des Ideals, das von den Polynomen f1 = (X − 1)2 (X + 2)2 (X − 3) = X 5 − X 4 − 9X 3 + 5X 2 + 16X − 12 , f2 = (X − 1)(X + 2)(X + 1)(X − 3) = X 4 − X 3 − 7X 2 + X + 6 , f3 = (X + 2)(X − 3)(X + 1)2 = X 4 + X 3 − 7X 2 − 13X − 6 erzeugt wird, sowie eine Darstellung g = h1 f 1 + h2 f 2 + h3 f 3 mit Polynomen hj ∈ Q[X].
Da auf Grund der Konstruktion jedes Element dieses Polynomrings ein Polynom in einer endlichen (aber unbeschr¨ankten) Anzahl von Variablen ist, u ¨ berzeugt man sich leicht, dass auch dieser Ring ein Integrit¨atsbereich ist, wenn R ein Integrit¨ atsbereich ist. Unser n¨ achstes Ziel ist der Fundamentalsatz der Arithmetik, also die Aussage, dass sich jede nat¨ urliche Zahl n = 1 eindeutig in ein Produkt von Primzahlen bzw. nach Zusammenfassung gleicher Faktoren in ein Produkt von Primzahlpotenzen zerlegen l¨ asst.
5. Sei M ⊆ R eine Menge, die beliebig große Elemente enth¨alt, seien f, g : M −→ R Funktionen. a) Gibt es C > 0, so dass |f (x)| ≤ C · |g(x)| f¨ ur alle hinreichend großen x ∈ M gilt, so schreibt man f (x) = O(g(x)). (oder auch f (x) ≪ g(x)). b) Ist g(x) = 0 f¨ ur hinreichend große x und lim f (x)/g(x) = 0, x→∞ x∈M so schreibt man f (x) = o(g(x)). c) Ist g(x) = 0 f¨ ur hinreichend große x und lim x→∞ x∈M f (x) = 1, g(x) so schreibt man f (x) ∼ g(x) und sagt, f sei f¨ ur x −→ ∞ asymptotisch gleich g(x).
Elementare Algebra und Zahlentheorie by Rainer Schulze-Pillot-Ziemen
by Brian
4.0