Werner Lütkebohmert's Codierungstheorie: Algebraisch-geometrische Grundlagen und PDF

By Werner Lütkebohmert

ISBN-10: 3322802337

ISBN-13: 9783322802330

ISBN-10: 3528031972

ISBN-13: 9783528031978

Beginnend mit der Fragestellung nach zuverlässiger Datenübertragung wird die elementare lineare Codierungstheorie dargestellt. Insbesondere wird das challenge der Konstruktion von optimalen Codes herausgearbeitet. Dieses anspruchsvolle challenge wird mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst. Das Buch liefert einen schnellen elementaren Zugang zu den algebraischen Kurven und führt den Leser an die grundlegenden Sätze von Bezout und Riemann-Roch heran. Weiterhin werden klassische Fragen von E. Artin und A. Weil über die Zetafunktion eines algebraischen Funktionenkörpers ebenfalls vollständig behandelt. Außerdem werden algebraische Kurven über endlichen Körpern mit vielen rationalen Punkten konstruiert. Nach der mehr theoretischen Lösung des difficulties optimaler Codes wird abschließend der algorithmische Zugang von der Codierung bis zur Decodierung behandelt.

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Der Probeniusautomorphismus € ~ €q ist ein kanonisches erzeugendes Element der Galoisgruppe. Zum Beispiel gilt im Fall q Es sei nun = 2 fiir die Beziehung zwischen n 3 5 7 9 11 13 m 2 4 3 6 10 12 Xn - 1 = n und m: h(X)· ... · h(X) die Zerlegung in irreduzible Faktoren iiber lFq . 1st as Nullstelle von fi(X) , so auch aIle Konjugierten 2 as, (as)q, (as)q , von as. Man teilt nun diese in Aquivalenzklassen bzgl. der Operation des Frobenius ein. Dieses geschieht, indem man die Restklassen der Exponenten modulo n in Aquivalenzklassen bzgl.

1st a = x = 0 , so ist w(O, b, b) = 2 . 9. 9 zutrifft. (v) Die Anzahl der Elemente in einer Kugel vom Radius 3 ist gleich der Anzahl der Fehlervektoren der Norm ::; 3 , also gleich der Anzahl der hochstens 3-elementigen Teilmengen von {1, ... , 23} , also gleich 1 + (2;) + (2i) + (2;) . Wunderbarerweise ist diese Zahl gleich 211 . 3 aus. (vi) Es gilt 1 = (1, ... ,1) E g24 ; man setze namlich a = b = 0, x = (1, ... ,1) . Daher gibt es genauso viele Codeworter der Norm w wie der Norm 24 - w . Nach (iii) und (iv) hat die erzeugende Funktion also folgende Form A(Z) = 1+aZ8+bZ12+aZ16+Z24 wobei zusatzlich naturlich 1 + a + b + a + 1 = 212 = 4096 gilt.

Die Dimension bleibt bei der Projektion wegen d (924) 2: 2 gleich. 2 Diese Codes habe folgende Eigenschaften: (i) (ii) R. * = {0,1} g24 wobei 1 = (1, ... , 1) gilt. ist selbstdual. (iii) Die Hamming-Norm w(x) eines jeden Codewortes aus von 4. (iv) Es gibt in also 8. In g24 g23 g24 ist ein Vielfaches keine Codew6rter der Norm 4; die Minimaldistanz in g24 ist ist die Minimaldistanz 7. Beide Codes sind 3-fehlerkorrigierend. (v) g23 ist perfekt. (vi) g24 hat die erzeugende Funktion A(Z) = 1 + 759· Z8 + 2576.

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by Michael
4.1

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