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Example text

Zeigen Sie in Ihren Beispielen, dass dennoch jeweils der gr¨ oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der die Ideale erzeugenden Elemente existiert. 8. Bestimmen Sie in Q[X] den normierten Erzeuger g des Ideals, das von den Polynomen f1 = (X − 1)2 (X + 2)2 (X − 3) = X 5 − X 4 − 9X 3 + 5X 2 + 16X − 12 , f2 = (X − 1)(X + 2)(X + 1)(X − 3) = X 4 − X 3 − 7X 2 + X + 6 , f3 = (X + 2)(X − 3)(X + 1)2 = X 4 + X 3 − 7X 2 − 13X − 6 erzeugt wird, sowie eine Darstellung g = h1 f 1 + h2 f 2 + h3 f 3 mit Polynomen hj ∈ Q[X].

Da auf Grund der Konstruktion jedes Element dieses Polynomrings ein Polynom in einer endlichen (aber unbeschr¨ankten) Anzahl von Variablen ist, u ¨ berzeugt man sich leicht, dass auch dieser Ring ein Integrit¨atsbereich ist, wenn R ein Integrit¨ atsbereich ist. Unser n¨ achstes Ziel ist der Fundamentalsatz der Arithmetik, also die Aussage, dass sich jede nat¨ urliche Zahl n = 1 eindeutig in ein Produkt von Primzahlen bzw. nach Zusammenfassung gleicher Faktoren in ein Produkt von Primzahlpotenzen zerlegen l¨ asst.

5. Sei M ⊆ R eine Menge, die beliebig große Elemente enth¨alt, seien f, g : M −→ R Funktionen. a) Gibt es C > 0, so dass |f (x)| ≤ C · |g(x)| f¨ ur alle hinreichend großen x ∈ M gilt, so schreibt man f (x) = O(g(x)). (oder auch f (x) ≪ g(x)). b) Ist g(x) = 0 f¨ ur hinreichend große x und lim f (x)/g(x) = 0, x→∞ x∈M so schreibt man f (x) = o(g(x)). c) Ist g(x) = 0 f¨ ur hinreichend große x und lim x→∞ x∈M f (x) = 1, g(x) so schreibt man f (x) ∼ g(x) und sagt, f sei f¨ ur x −→ ∞ asymptotisch gleich g(x).

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