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1. Sei C der freie A-Modul nA(M ×N ) . Die Elemente von C können wir uns als formale Linearkombinationen ai (xi , yi ) mit ai ∈ A, xi ∈ M, yi ∈ N i=1 vorstellen. 2. Sei D der von allen Elementen der Form (x + x , y) − (x, y) − (x , y), (x, y + y ) − (x, y) − (x, y ), (ax, y) − a(x, y), (x, ay) − a(x, y) mit x, x ∈ M , y, y ∈ N und a ∈ A erzeugte Untermodul von C. 3. Wir setzen T := C/D. Wir schreiben x ⊗ y ∈ T für das Bild des Elementes (x, y) ∈ C in T . Beweis der universellen Eigenschaft. 1. Damit ist T erzeugt von Elementen der Form x ⊗ y, wobei folgende Gleichungen gelten: (x + x ) ⊗ y = x ⊗ y + x ⊗ y, (ax) ⊗ y = a(x ⊗ y), x ⊗ (y + y ) = x ⊗ y + x ⊗ y , x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y).

Sei M1 , . . , Mr , P eine Folge von A-Moduln. 39 1. Es existiert ein A-Modul T zusammen mit einer A-multilinearen Abbildung γ : M1 × · · ·×Mr → T mit der folgenden (universellen) Eigenschaft: Für jeden weiteren AModul P zusammen mit einer A-multilinearen Abbildungen µ : M1 × · · · × Mr → P existiert genau eine A-lineare Abbildung µ : T → P mit µ = µ ◦ γ. 2. Sind (T, γ), (T , γ ) zwei solcher Paare mit dieser Eigenschaft, so existiert genau ein Isomorphismus φ : T → T mit φ ◦ γ = γ . Wir schreiben M1 ⊗ · · · ⊗ Mr für T .

Sei θ : M2 → (M1 + M2 )/M1 , x → x + M1 . Dann ist θ ein surjektiver Homomorphismus von A-Moduln. 2. Der Kern von θ ist M1 ∩ M2 . Damit folgt die Aussage aus dem Homomorphiesatz. 6 (Zweiter Isomorphiesatz). Sei A ein Ring. Sei L ein A-Modul, und seien N ⊂ M ⊂ L Untermoduln. Dann existiert ein kanonischer Isomorphismus ∼ (L/N )/(M/N ) → L/M von A-Moduln. Beweis. 1. Sei θ : L/N → L/M, x + N → x + M . Dann ist θ ein wohldefinierter, surjektiver Homomorphismus von A-Moduln. 2. Der Kern von θ ist M/N .

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